ДООМ "Оригами и геометрия"-2004.
Задания к этапу "Обучение".

Предлагаем вам изучить решение задачи, состоящей из трёх этапов:

  1. исследование;
  2. оригамское решение;
  3. математическое обоснование.

Задача.
В квадрат нужно вписать квадрат меньшей площади, причем площади вписанного и исходного квадрата должны находиться в определенном соотношении.

Постановка задачи.
Рисунок 1 Перегните квадрат по диагонали.
Рисунок 2 Совместите правый верхний угол с произвольной точкой, лежащей на диагонали.
Рисунок 3 Перегните лист по линиям, совпадающими со сторонами прямоугольного треугольника. Отогните загнутый угол на место.
Рисунок 4 В исходный квадрат мы вписали квадрат меньшей площади.
Задания:
Где находится точка на диагонали, в которую должен попасть верхний угол исходного квадрата (рис. 2), чтобы площадь вписанного квадрата была:
  1. в 2 раза меньше исходного,
  2. равна 1/3 исходного,
  3. равна 1/5 исходного?

Задание 1.
Площадь вписанного квадрата равна 1/2 от исходного.

I. Исследование.
1) Сложите все четыре уголка исходного квадрата к центру.
2) SABCD в два раза меньше исходного квадрата.
В квадрате ABCD диагональ равна стороне искомого квадрата.
II. Оригамское решение.
Отложите BD, равное BK, с помощью сгиба по указанной линии.
Через точку D проведем две линии сгибов, перпендикулярные смежным сторонам квадрата MKBN.
III. Математическое обоснование.
Обозначим a сторону квадрата KBNM.
KB=a,
BD=a.
SKBNM=a2.
Рассмотрим ΔDAB: AB2 + AD2 = BD2 (по теореме пифагора, т.к. ΔDAB прямоугольгый):
AB=AD
2AB2=BD2
AB2=
BD2
2
,
AB2=
a2
2
,
SABCD = AB2, SABCD =
a2
2
.
Задание 2.

В задании N2 проведено исследование. Вам предлагается используя данные исследования выполнить самостоятельно оригамское решение и математическое обоснование.

Площадь вписанного квадрата равна 1/3 исходного

I Исследование

Обозначим KB=a, SKBNM=a2.
Допустим, SABCD=
a2
3
, SABCD=AB2, AB2 =
a2
3
, AB=
a
 3
ΔABN: AB=BN*tgLBNA,
a
 3
=a*tgLBNA
tgLBNA=
1
 3
, LBNA=30o



Задание 3.
В задании 3 проведено иследование , оригамское решение. Вам нужно выполнить математическое обоснование. Площадь I квадрата равна 1/5 от исходного

I Исследование
SABCD=a2/5,
BC=
a
 5


Рассмотрим прямоугольник.
a2 + 4a2
25
=
5a2
25
=
a
5
- диагональ прямоугольника, стороны которого
a
5
и
2a
5

Оригамское решение.

С помощью сгибов проведите диагональ OC и среднюю линию квадрата
Сделайте сгиб по диагонали ТС нижнего прямоугольника
Обозначим точку А на плоскости квадрата, с которой совпала вершина D. Проведите прямую ОА.
Отогните угол D в первоначальное положение. С помощью сгиба на стороне отложите OL равное OA

Назад Вверх