Первая дистанционная обучающая олимпиада
"Оригами и геометрия"
Задания обучающего этапа
Добрый день, дорогие друзья!
Мы получили от вас подробные и интересные ответы на вопросы этапа "Разминка". Молодцы! После проверки, вы получите не только оценку своих работ, но и полные правильные ответы. Пока ответы не рассылаем - ждем опоздавшие команды.
Сегодня начинается обучающий этап нашей олимпиады.
Как вы заметили, организован лист рассылки.
Внимательно прочитайте инструкцию с требованиями к оформлению отчета по обучающему этапу.
Обучающий этап состоит из трех заданий.
I. Разбор решения задачи о делении стороны квадрата на три равные части с помощью сгибов (оригамский метод решения) с математическим обоснованием. - это образец, который поможет вам выполнить остальные задания.
II. Сделать математическое обоснование предложенному оригамскому методу решения задачи о делении стороны квадрата на три равные части другим способом.
III. Сделать математическое обоснование предложенным двум различным оригамским методам решения задачи о делении стороны квадрата на пять равных частей.
Ответы на задания обучающего этапа будут разосланы 17 марта 2003 г.
Отчеты о проделанной работе вы должны выслать в лист рассылки до 22 марта.
Все материалы, отсылаемые в лист рассылки, будут автоматически рассылаться всем командам.
Желаем успеха.
Задания обучающего этапа.
1. Разбор решения задачи о делении стороны квадрата на три равные части с помощью сгибов (оригамский метод решения) с математическим обоснованием.
Разделить сторону квадрата на три равные части
Оригамское решение.
| 1) |
| 2) |
|
Перегните квадрат по диагонали. |
| Перегните верхнюю сторону пополам. |
3) |
| 4) |
|
Перегните по пунктиру. |
| 5) |
6) | 7) |
Через точку А пересечения диагоналей BD и MK сделать сгиб по прямой перпендикулярной DK
|
Согните по указанной линии и полностью раскройте. |
Выполните указанные сгибы. |
|
Математическое обоснование
Требуется доказать: AH=AH1 = a/3Обозначим сторону квадрата а.
|
Рассмотрим треугольник ABH: |
Угол AHB=90°, угол ABH=45°, угол BAH=45°.
| |
|
Обозначим:
ВН=АН=х
Треугольник АКН подобен треугольнику СКВ, т.к. АН||СВ.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон.
KH/KB=AH/CB=AK/CK,
(a-x)/a=2x/a;
(a-x)(a/2)=ax.
(a-x)/2=x,
a-x=2x,
a=3x,
x=a/3.
AH=a/3.
Рассмотрим четырехугольник АНВН1:
т.к. угол AHB = 90° (АН перпендикулярна ВН), угол НВН1 = 90° (АН1перпендикулярна ВН), угол BH1A = 90°, сумма углов четырехугольника равна 360°, отсюда
угол H1AH= 360 - 90*3 = 90. ВН = АН.
Смежные стороны прямоугольника равны, отсюда АНВН1 - квадрат.
Следовательно, АН1 = АН = a/3.
II. Сделать математическое обоснование предложенному оригамскому методу решения задачи о делении стороны квадрата на три равные части другим способом.
С помощью сгибов разделите сторону квадрата на 3 равные части.
Оригамское решение.
| 1) |
| 2) |
|
Наметьте середину верхней стороны ВС квадрата ABCD.
|
| Совместите правый нижний угол D с серединой ВС (т.е. с точкой М).
|
3) |
| 4) |
|
Отметьте точку Р - пересечение DA |
со стороной квадрата. Разделите РВ пополам.
|
Точка Р делит сторону квадрата |
в отношении 1 : 2, считая от вершины А. |
Сторона квадрата разделена на три равные части АР = РК = ВК.
III. Сделать математическое обоснование предложенным двум различным оригамским методам решения задачи о делении стороны квадрата на пять равных частей.
1. Разделить сторону квадрата на пять равных частей.
Оригамское решение.
| 1) |
2) |
3) |
Перегните квадрат пополам.
|
Загните левый нижний угол |
наверх, перегибая по диагонали нижнего прямоугольника.
| 4) |
5) |
6) |
В результате сложения получили, что OA=(1/5)CM 7) |
8) |
9) |
|
| В результате сложения |
получили AD=(2/5)CM |
2.С помощью сгибов разделить сторону квадрата на пять равных частей.
Оригамское решение.
| 1) |
| 2) |
|
Совместите правый нижний угол с точкой М, которая лежит на верхней стороне квадрата AB, причем BM:AM=1:3
|
| Получите отрезок AP=(2/5)AB. Разделите его пополам и получите (1/5)AB. Отрезок PN разделите на три равные части.
| |
