Первая дистанционная обучающая олимпиада
"Оригами и геометрия"
Ответы на задания обучающего этапа.
II. Сделать математическое обоснование предложенному оригамскому методу решения задачи о делении стороны квадрата на три равные части другим способом.
С помощью сгибов разделите сторону квадрата на 3 равные части.
Математическое обоснование
|
Требуется доказать:
ОА = (1/5) СМ,
AD = (2/5) CM
|
Обозначим:
сторону квадрата CM = 1,
AD = x,
AN = 1-х,
АО = у = CN, MN= 1 - y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMN, AM=1. По теореме Пифагора:
12= (1-x)2 + (1-y)2,
1 = l-2x + x2 + l -2y + y2,
2x + 2y - x2 - y2 - 1 = 0.
Рассмотрим прямоугольный треугольник KDA. По теореме Пифагора:
(1/2)2 = x2+(1/2-y)2,
1/4 = x2 + 1/4 - y + y2,
x2 + y2 - y = 0.
2х+2у-х2-у2-1 = 0
+
x2+y2-y = 0
2x + y -1 = 0,
y = 1 - 2x.
x2 +(1 - 2x)2 - (1 - 2x) = 0,
x2 + 1 - 4x + 4x2 - 1 + 2x = 0,
5x2 - 2x = 0,
x1 = 0 (не удовлетворяет условию задачи),
x2 = 2/5, y = 1 - 2 *(2/5) = 1/5.
Значит, AO = 1/5, AD = 2/5.
III. Сделать математическое обоснование предложенным двум различным оригамским методам решения задачи о делении стороны квадрата на пять равных частей.
Математическое обоснование
|
Обозначим АВ = 1.
Рассмотрим треугольник MBD
Треугольник МВD: MB = 1/4, BD = х, MD = 1 - x.
Треугольник MBD - прямоугольный. По теореме Пифагора
(1/4)2 + x2 = (1-x)2, (1/16) + x2 = 1- 2x +x2,
2x=15/16, x=15/32.
BD =15/32, MD=17/32.
|
MB:BD:MD = 1/4 : 15/32 :17/32 = 8 : 5: 17.
Треугольник MBD ~ треугольнику NPC (угол MBD = углу CNP = 90°, угол BDM = углу NCP - как углы с соответственно параллельными сторонами, BD || PC, MD || NС).
Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон:
Треугольник NPC: NP: NC: PC = 8 : 15 : 17.
1 часть -x, NP= 8x, NC= 15x, PC=17x.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АРМ.
Треугольник АРМ: АР = 1 - (17x + 15x) = 1 - 32x, МР = 1 - 8z, AM =3/4
По теореме Пифагора:
(3/4)2 + (1 - 32x)2 = (1- 8x)2 ,
9/16 + 1 - 64x + 1024x2 - 1 + 16x - 64x2 = 0,
960x2 - 48x + 9/16 = 0,
x1,2 = (18 + sqrt(2304 - 4*960*9/16) ) / (2*960) = (48+12) / (2*960).
x1 = (48 +12) / (2*960) = 60 / (2*960) = 1/32,
AP = 1- (32*1) / 32 = 1 - 1 = 0, AP >0;
(x1 - не удовлетворяет условию задачи).
x2 = (48 - 12) / (2 * 960) = 36 / (2*960) = 3/160, AP= 1 - (32*3) /160 = 1 - 3/5 = 2/5
|
