ДООМ "Оригами и геометрия"-2008.
Этап "Разминка".
Дорогие Друзья!

Объявляем начало второго этапа олимпиады "Оригами и геометрия".
Этот этап носит название "Разминка". Это не случайно: команды должны познакомиться с правилами работы, освоить или уточнить необходимые приемы оформления заданий, исключить все возможные недоразумения при пересылке писем. При верном и качественном ответе на все вопросы команда может заработать 100 баллов.

Сроки проведения: 5 - 10 декабря

Вопросы этапа :

Вопрос 1. Чье это высказывание: “Треугольник есть первая фигура, которая не может разложиться в другой вид более простой фигуры (между тем как, наоборот, четырехугольник разлагается на треугольники) и поэтому есть первый фундамент всякой вещи, имеющей границу и фигуру”?

Ответ :
Несколько слов об авторе, которому принадлежит это высказывание: Джордано Бруно (1548 - 1600) - итальянский философ-пантеист и поэт. В "Началах" Евклида задачи на преобразование площадей фигур. Одной из самых удобных и простых фигур для измерения площадей является квадрат. А для решения задач проще всего исходить из того, что любой многоугольник можно разбить на некоторое число треугольников, а треугольник легко превратить в параллелограмм, он же в свою очередь превращается в равновеликий прямоугольник, а тот в свою очередь в квадрат.
(источник информации: 1."История математики в школе" Г.И.Глейзер. М.,"Просвещение" 1982;
2. http://kaev.ru/topic87.html)
(id 18, команда "Нетупые блондинки")

Вопрос 2. Кому принадлежали первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника?

Ответ :
Одним из первых известных математиков был, конечно, грек. Предполагают, что им был Фалес Милетский (около 624-548 гг. до н.э.) Достоверных сведений об этом человеке почти нет. Известно, что он был купцом и путешественником, родоначальником математики. "Можно проводить не только практические, но и мыслительные опыты!"- утверждал Фалес. Первый античный геометр при помощи "мыслительных опытов" доказал теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. У Фалеса впервые в истории математики появляются доказательства теорем. Фалес отличался завидной краткостью : полное собрание его сочинений составляют всего 200 стихов.
(источники информации: 1. Крутицкая В.А. Математика. 6-8 классы .Издательский дом "Литера".-СПб.,2007;
2. Минковский В.Л. За страницами учебника математики. "Просвещение", М.,1966;
3. Аносов А.А. О серьезном и курьезном в жизни великих математиков и физиков. Издательство ОГПУ, Оренгург-2004.

Вопрос 3. Кому принадлежали первое доказательство теоремы о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней углам? Какое практическое применение этой теоремы было найдено?

Ответ :
По свидетельству Прокла (4112 - 485, древнегреческий философ) первым теорему о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней углам доказал Фалес, один из "Семи мудрецов", оказавших большое влияние на жизнь Древней Греции. Было найдено и практическое применение этой теоремы. В гавани Милета был построен дальнометр, определяющий расстояние от суши до корабля в открытом море. Не следует изображать дальнометр в виде сложного оптического прибора. На самом деле он представлял собой три вбитых колышка A, B, C, (где AB = BC) и размеченную прямую SK перпендикулярную CA (рис.2). При появлении корабля на прямой SK, находили точку D, такую, чтобы точки D, B, E оказались на одной прямой. Расстояние DE являлось расстоянием до корабля AE до корабля.
(источник информации: 1."Энциклопедический словарь Брокгауз и Ефрон";
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Фалес)
(id 18, команда "Нетупые блондинки")

Вопрос 4. Все большое семейство треугольников можно разделить на группы в зависимости от сторон и углов. Назовите эти группы.

Ответ :
Всё большое семейство треугольников можно разделить на две группы в зависимости от сторон и углов.
1 группа (по сторонам): равнобедренные треугольники, равносторонние треугольники, произвольные треугольники
2 группа (по углам): прямоугольные треугольники, остроугольные треугольники, тупоугольные треугольники

Вопрос 5. Известно, что в середине I тысячелетия до нашей эры для построения прямого угла египтяне использовали веревку с узлами. Концы веревки связывали и натягивали ее на три колышка. Если стороны относились как 3 : 4 : 5, то получался прямоугольный треугольник. На сколько частей была разделена веревка узлами?

Ответ :
Веревка была разделена на 12 частей.
Гарпедонапты, или "натягиватели верёвок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем верёвку длиною в 12 линейных единиц и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 единицы от одного конца и 4 единицы от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент: например, рисунки, изображающие столярную мастерскую. Но в том-то и дело, что для изготовления такого шаблона как раз и использовали идею гарпедонаптов.
(id 54, Кубарики)

Вопрос 6. Какие базовые формы в оригами имеют вид треугольника? (Какой это треугольник?)

Ответ :
Двойной треугольник (водяная бомбочка)
Треугольник

Вопрос 7. Вырежьте правильный треугольник из бумаги. При помощи перегибаний разделите его на четыре равных треугольника. Чему равна сторона полученного треугольника?

Ответ :
1. Согнуть пополам, сложив вершину и совместив углы при основании. L - пересечение линии сгиба и основания.
2. Согнуть, совместив вершину с точкой L.
3. Сторона получившихся треугольников равна половине исходного треугольника.

Вопрос 8. Вырежьте правильный треугольник из бумаги. С помощью сгибов получите из него правильный шестиугольник.

Ответ :

1 шаг. Аналогично задаче № 7 построим внутри данного треугольника равносторонний треугольник

2 шаг. Наметим медианы, найдем точку их пересечения

3 шаг. К найденной точке приложим вершины треугольника

Дано:
AB=BC=AC=a
AK=KB
BL=LC
AM=MC
EF - сторона шестиугольника

Доказать:
после складывания получился правильный шестиугольник

Доказательство:

ABC подобен EBF с K=3, т.к.
1)MO=2
2)OH=1, где O - точка пересечения медиан KLM
3)BH=3, т.к. KBL=KLM
=> 4)BQ=QO=2
Поэтому EF=1/3a, EB=1/3a

Аналогично можно найти остальные стороны 6-угольника, равенство углов очевидно.
(id 69, Новый лицей)

Вопрос 9. Возьмите квадратный лист бумаги и получите из него, с помощью сгибов, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник.

Ответ :
1. Равнобедренный треугольник

2. Равносторонний треугольник

(id 54, Кубарики)

Инструкция к этапу "Разминка"

Внимательно прочитайте требования к оформлению своих ответов, потому что за некачественное оформление придется присуждать штрафные баллы.

  1. Отвечая на 1,2,5 вопросы "Разминки", укажите источник информации. Если в своих письмах вы ссылаетесь на какой-то сайт или его страничку, то обязательно пишите название сайта и прямой URL (уникальный идентификатор ресурса, то есть адрес сайта в Интернете) на соответствующую страницу.
  2. Ответы на 3,4,6 вопросы могут потребовать графической иллюстрации.

    Рисунки можно нарисовать в любом графическом редакторе. Рисунки необходимо оптимизировать по объему. Затем можно прикрепить их к письму как отдельные вложения, указав в текстовом документе с ответами в нужных местах номера соответствующих рисунков. Можно внедрить рисунки в текстовый документ, позаботившись о том, чтобы объем документа не превысил допустимые размеры. Размер рисунка не должен быть большим, но достаточным для того, чтобы были различными все линии.

    Рисунки можно выполнить в текстовом процессоре Word с помощью панели рисования. Законченный рисунок необходимо сгруппировать.

    Вместо графических построений допустимо описание решений.

  3. Первая строка документа должна содержать информацию об этапе и команде. Например: id 07, команда "Умники", Омск. Ответы на этап "Разминка".
  4. Текстовый документ с ответами необходимо заархивировать в формате Zip и прикрепить к письму. Объем архива с ответами на этап "Разминка" не должен превышать 100 килобайт.
  5. Тело письма должно содержать название команды, название города, и текст о содержимом архива. Например: id 07, команда "Умники", Омск.
    Ответы на этап "Разминка" олимпиады "Оригами и геометрия".
  6. В графе "Тема" необходимо указать: id XX razminka YYY
    Например, тема:id 03 razminka Умники
  7. ВНИМАНИЕ! Ответы необходимо выслать по адресу dod-omsk@yandex.ru до 10 декабря 2008 года. Отправив ответы на лист рассылки, вы сразу сообщите свое решение всем соперникам.

Назад Вверх