Сроки проведения:
20 ноября 2007 - 4 декабря 2007
Доказательство - это обоснованное рассуждение, с помощью которого устанавливается истина. В математике с помощью доказательства, мы устанавливаем, выполняется ли свойство, о котором мы догадались, которое мы проверяем.
При решении задач на доказательство важно найти главную идею решения, осознать и понять ее.
Попробуем найти эту идею с помощью исследования сгибов листа бумаги.
Рассмотрим тему "Перпендикулярные и параллельные прямые".
С помощью сгибов проведем произвольную прямую AB. Отметим на ней точку О. Получим, развернутый угол АОВ.
Проведем биссектрису угла ОК, 
ВОК=900. Проведем прямую КМ, совпадающую с биссектрисой ОК.
Получим две пересекающиеся прямые АВ и КМ, образовалось 4 угла: 1, 2,
3, 4.
1 = 2 = 900 (так как ОК - биссектриса).
 |
Сравним 1,
2, 3,
4 наложением.
|
 Согнем по намеченным линиям. |
 Получили: при наложении 1, 2,
3, 4 - совпали.
Следовательно,
1 = 2 = 3 = 4=900
Отсюда АВ  КМ
|
Две пересекающиеся прямые перпендикулярны, если они образуют четыре прямых угла.
Математическое обоснование: 1 = 2 = 900
Проведем произвольную прямую, а с помощью сгибов.
Построим с а, d a.
Две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются
С помощью сгибов построим угол с вершиной А и проведем прямую а АР. Проверим, будет ли АQ а.
С помощью сгибов проведем биссектрису развернутого АQС, убеждаемся,
что она не совпадает с прямой а. Следовательно, прямая а не перпендикулярна АQ.
Прямые АР и АQ обе не могут быть перпендикулярны к прямой а, так как они пересекаются.
а по построению. а по построению.Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.
1. С помощью сгибов построим а в.
2. Построим с в. Получим а || с.
3. Проведем секущую n
4. Получим 1 и 2, 3 и 4 - накрестлежащие.
Рассмотрим свойства этих углов.
Сравним 1 и 2 1. Согнем по секущей АВ. |
 2. Совместим точки А и В (вершины накрест лежащих углов). |
 3. 1 и 2 - совпали при наложении.Вывод: накрест лежащие углы равны. |
|
| Сравним углы 1 и 2 |
|
 |
|
| 1. Проведем с помощью сгибов а || в, с - секущая. |
2. Проведем биссектрису угла, смежного с углом 1.
|
|
|
| 3. Совместим вершины А и В. |
4. Получаем: 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, 1 = 2
|
 |
|
|
1. a || b, АВ - секущая Согнем по секущей |
2. Совместим вершины А и В |
|
|
| 3. Сделаем указанные сгибы. |
4. Сумма 1 и 2 равна 1800 (т.к. составляют развернутый угол) |
 |
|
| 1. Проведите биссектрису А D. |
2. Наметьте середину А D и проведите
ОМ А D
|
 3. Согните по линии МD. |
 4. Сравните углы 1 и 3, для этого согните по AD |
 5. Cовместите точки А и D |
 6. 1 и 3 совпали,
а они накрест лежащие.Следовательно MD || AB. |
1 и 3)
а отсюда будет следовать параллельность прямых MD и AB.
АD - биссектриса, следовательно, 1 = 2.
Рассмотрим 
АDМ.
АО=ОD, следовательно, ОМ медиана, ОМ АD - по условию.
Треугольник, в котором медиана проведенная к основанию является высотой,
равнобедренный. Отсюда, 2 = 3.
1 = 3, а они накрест лежащие
при прямых МD и АВ и секущей АD, следовательно МD || АВ.
1. Перегните квадрат по диагонали и разогните
2. Согните пополам
3.Согните фигуру так, чтобы точка В легла на линию АВ.
Задание.Докажите, что прямая AC будет при этом параллельна прямой DE
Совместим точки С и А
Точки F и Е тоже совпадают
Вывод: прямая АС || DE , т.к. расстояние между прямыми одно и то же.
Докажем это утверждение математически
Рассмотрим B'EB:
О =ОВ, ОЕ В B' - по построению
ОЕ - высота, медиана
==> Е B'=ЕВ
Е B'О = Е BО,
Е BО=450
(АВ - диагональ квадрата)
Е B'О = А B'D = 450 (вертикальные)
САB' = 450
САB' = А B'D (накрест лежащие)
==>АС || DЕ, а АF FE.
 |
|
|
1. Проведем BC OD, ON AC
|
2. Согнем по прямой, проходящей через точки О и С |
|
3. ВОС и АОС - совпали, ВОС = АОС,следовательно,ОС - биссектриса. |
|
